Scoala de Informatica – Dr. Steve Vickers

  • Prezentare generala a cercetarii
  • Discutii selectate
  • Rezumatul lucrarilor
  • Lista mai completa a lucrarilor, cu detalii despre citate, rezumate si versiuni descarcabile
  • Doctoratii sub supravegherea mea

cuprins

  • Logica geometrica
  • Toposes
  • Uleiuri si manunchiuri
  • Cateva din scrierile mele introductive – inclusiv tutorialul din Ljubljana
  • Probleme mai tehnice
  • Universuri aritmetice
  • Proiectul meu EPSRC Aplicatii ale logicii geometrice la abordarile topos ale teoriei cuantice.

Logica geometrica

„Logica geometrica”, asa-numita de la originea sa in geometria algebrica la mijlocul secolului XX, este o modalitate ingenioasa de a combina doua subiecte matematice aparent foarte diferite: topologia (care studiaza schimbarea continua) si logica (care studiaza pasi de deductie discrete).

Trucul sau este de a lua operatiunile set-teoretice de intersectie si (eventual infinite), care sunt folosite pentru a combina seturile importante deschise de topologie si a le reinterpreta ca logica. Intersectia devine „si”, iar unirea devine „sau”. Deoarece are o gama restransa de conectivi logici, este mai slab decat logica „clasica” standard a matematicii, desi abilitatea de a forma „infinite” ii ofera cateva caracteristici interesante. mrlessonone8.cavandoragh.org

In cadrul acestei traduceri, spatiile topologice, punctele lor si hartile continue intre spatii devin teorii, modele si interpretari logice ale unei teorii in alta.

Trucul logicii geometrice a aparut in campurile matematicii pure, in special geometria algebrica si a dus la unele stiluri de topologie „fara punct” interesante, in care seturile deschise pe un spatiu sunt definite fara a sti in prealabil in ce puncte sunt destinate fii seturi de. Ideea a fost folosita si in informatica, unde ideea de continuitate se dovedeste a fi neasteptat de apropiata de cea a computabilitatii . Apoi, abordarea fara puncte descrie spatiile obiectelor de calcul prin teorii logice despre „felul in care acele obiecte apar utilizatorului” (adica ceea ce poti sti despre ele urmarindu-le sa ruleze, spre deosebire de examinarea programelor lor).

Toposes

In esenta trucul logicii geometrice este unul simplu, dar are consecinte profunde. lovecoachart8.tearosediner.net Acestea se datoreaza faptului ca logica mai slaba, geometrica este insotita de o matematica mai slaba, geometrica, una care este mai compatibila cu ceea ce poate fi calculat. Constructiile sale au o continuitate intrinseca – slabiciunea sa este ca nu se poate face dis lucruri continue. Studiul a ceea ce se poate face in aceasta matematica geometrica duce la notiunea de topos .

Teoria Topos este un subiect uimitor de bogat, care dateaza din lucrarea lui Grothendieck privind geometria algebrica cu o jumatate de secol in urma. A avut un efect profund si asupra altor domenii, inclusiv asupra logicii. archerevro329.tearosediner.net Partial, din cauza acestei bogatii, este notoriu dificil sa dau un concept conceptual cuprinzator despre ceea ce este un topos, dar voi incerca sa explic modul in care ma gandesc la acele aspecte care intra in propria mea lucrare.

Un topos este analog unui spatiu topologic, dar structura topologica nu poate fi descrisa doar folosind seturi deschise de puncte. In schimb, ele trebuie descrise specificand care sunt coamele sau hartile continue de la puncte la seturi . Panzele sunt echivalente cu modalitatile de a construi seturi din puncte din matematica geometrica. Aceasta creeaza o conexiune puternica intre logica geometrica si topozele. blogfreely.net

Un topos se spune, in general, pentru a-si clasifica punctele, astfel incat, de exemplu, exista un topos care clasifica seturile si un alt care clasifica grupurile.

Topozele pot fi de asemenea intelese independent de logica geometrica, printr-o alta logica „intuitionalista”, mai puternica decat cea geometrica, dar tot mai slaba decat logica clasica. Cu toate acestea, limitarea la logica geometrica face mult mai usor sa inteleg topozele ca spatii ale punctelor. O mare parte din munca mea a studiat problema cat de mult se poate face matematica practica in limitele logicii geometrice.

Uleiuri si manunchiuri

Am spus mai sus ca o foaie peste un spatiu X poate fi inteleasa ca o harta continua de la punctele X la seturi. topcoachtv7.bearsfanteamshop.com Rezultatul acestei harti aplicate unui punct x se numeste tulpina foaiei la x ; este un set. Punand laolalta toate elementele tuturor stalpilor, se obtine un alt spatiu Y , numit spatiu afisaj , cu o harta p : Y -> X care arata, pentru fiecare element al lui Y , de la care provine.

O harta p obtinuta in acest fel este de un fel special, numita homeomorfism local . Astfel intr-un homeomorfism local p : Y -> X , tulpina in orice punct x al lui X poate fi gasita uitandu-ne la imaginea inversa a lui x , setul de puncte y astfel incat p ( y ) = x . Aceasta este cunoscuta si sub denumirea de fibre peste x . penzu.com

Acum ideea de fibra functioneaza pentru orice harta p – nu trebuie sa fie un homeomorfism local. Dar, in general, fibra are o topologie proprie, asa ca ar trebui sa ne gandim la ea ca la un spatiu topologic si nu la un set. Astfel p este privit ca un spatiu variabil (fibra), variind pe masura ce punctul x variaza. Din acest punct de vedere voi numi p un pachet . (Nota pentru cei cunoscuti: nu fac alte presupuneri, cum ar fi daca fibrele nu sunt goale. gierrerixl.doodlekit.com ) Apoi, o foaie este un pachet in care toate fibrele sunt setate – au topologia discreta. O foaie este un „pachet de seturi”.

In mod remarcabil, ideea pachetului functioneaza inca in topologie fara punct si, in unele moduri, functioneaza chiar mai bine. „Matematica interna a topozelor” mentionata mai sus, atunci cand este facuta pentru ochiuri peste X , se ridica la o teorie de seturi „parametrizata de puncte de X ”. (Acest lucru functioneaza cel mai bine cand va limitati la matematica geometrica. theinfoone6.shutterfly.com ) Un rezultat vechi si important al teoriei toposului arata ca atunci cand simulati topologia fara punct in aceasta matematica interna, ajungeti la o matematica a pachetelor fara punct.

Cu alte cuvinte, puteti discuta pachetele in acelasi mod in care discutati despre spatii, atat timp cat lucrati (i) fara punct si (ii) in logica geometrica. Deoarece logica geometrica este mai slaba decat logica clasica, acest lucru este destul de interesant sa ne intrebam cat de mult din matematica obisnuita se poate face geometric. O mare parte din munca mea a vizat anumite cazuri particulare ale acestei intrebari.

Cateva din scrierile mele introductive

Gustul general al utilizarii logicii geometrice este cel mai bine transmis in tutorialul meu in trei parti despre „Topologia formala si logica geomerica” (al 4-lea atelier de topologie formala, Ljubljana, iunie 2012):

  1. “Spatiu = teoria geometrica”
  2. “Harta = transformarea geometrica a punctelor in puncte”
  3. “Pachet = transformare geometrica a punctelor in spatii”

Iata alte scrieri. postheaven.net

  • Topologie prin logica – cartea mea din 1988 care introduce (desi in logica clasica) topologie fara punct, inclusiv unele aplicatii de informatica. Desi nu mentioneaza explicit logica geometrica, prezentarile cadrelor sale de catre generatori si relatii sunt in esenta acelasi lucru cu teoriile geometrice propozitionale.
  • Toposes pour les nuls si Toposes pour les vraiments nuls (ambele in realitate in engleza) si Topologia prin logica constructiva sunt rezumate scurte ale acestor idei ale utilizarii logicii geometrice pentru a rationa despre spatiile fara puncte ca si cum ar avea puncte.
  • Locale si topose ca spatii – un ghid al cititorului pentru doua dintre introducerile standard de topos, din punct de vedere al logicii si punctelor geometrice. De fapt, acest mare capitol este prima mea etapa la scrierea unei versiuni constructive a „Topologiei prin logica”. greenlifebox9.almoheet-travel.com
  • Seturi neplacute si logica geometrica – include o introducere la snopi si ideea ca acestea sunt „harti setate continuu”.
  • Probleme de logica, algebra si topologie in ontologie descrie in detaliu ideile „observationale” care stau la baza logicii geometrice.
  • „Aspecte ale topologiei” – diapozitive dintr-o discutie care introduce topologia si o parte din aplicarea sa in informatica teoretica in forma „fara punct”, apoi ducand la topoze si o noua utilizare (Imperial, Nijmegen) in formularea cuantica mecanica.
  • „Locale via pachete” – diapozitive dintr-o discutie care descrie vizualizarea pachetului.
  • „Aspecte ale logicii geometrice” – diapozitive dintr-o discutie care prezinta un rol in geometricitate, redactat ca Continuitate este Geometricitatea. felixqciz201.simplesite.com
  • “Topose, elefanti si gorile”.

Probleme mai tehnice

Dupa cum am mentionat, o mare parte din munca mea investigheaza modul in care matematica obisnuita se poate face in logica geometrica. Problema care sta la baza este ca un spatiu fara puncte poate sa nu aiba intr-adevar suficiente puncte. In termeni logici (punctul = modelul unei teorii), aceasta se datoreaza faptului ca teoriile geometrice pot fi incomplete. Dar aceasta lipsa de puncte este numai daca modelele sunt cautate in seturi obisnuite. messiahhdhz265.shutterfly.com Intotdeauna vor fi suficiente puncte daca sunteti pregatiti sa cautati modele in seturi non-standard (adica in matematica interna a topozelor). Avantajul logicii geometrice este ca se aplica la fel de bine in toate acele universuri non-standard si se transporta curat intre ele (din punct de vedere tehnic: este pastrat de catre functionarii de imagine inversa ai morfemelor geometrice). Prin urmare, motivand geometric, acoperiti si aceste puncte non-standard, iar dintre ele sunt suficiente.

Multe dintre idei sunt expuse in categorii topice de domenii , care investigheaza rezultatele cunoscute din teoria domeniilor si din semantica limbajelor de programare pe calculator (in special, rezultatele abordarii logice a lui Samson Abramsky). Utilizeaza logica geometrica pentru a exploata intr-un mod profund ideea clasificarii topozelor ca spatii ale punctelor. diigo.com

Un instrument important este teoria locatiilor de putere sau „ hiperespatii fara punct”. (Un hiperspatiu este un spatiu ale carui puncte sunt subspatii ale unui alt spatiu. Ca domenii de putere, s-au dovedit un instrument eficient pentru a discuta despre nedeterminism in calcul, deoarece rezultatul unei functii poate fi apoi un subspatiu de puncte, mai degraba decat un singur punct. ) Acestea ofera o modalitate puternica de a discuta probleme precum compactitatea si le-am folosit pe parcursul activitatii mele. Buna lor interactiune cu logica geometrica este descrisa in detaliu in The double powerlocale and exponentiation , care investigheaza faimosul rezultat al lui Martin Hyland din topologia fara puncte despre capacitatea de a construi spatii de harti (si, tehnic, de compactitate locala). www.scoop.it

Universuri aritmetice

O consecinta importanta a disjunctiilor infinitare in logica geometrica este aceea ca exista o „teorie de tip geometric” pentru a merge cu ea. O intrebare interesanta, propusa in categorii de domenii si discutata in Locale si topose ca spatii , se refera la ce se intampla daca se combina o parte din teoria tipului cu logica geometrica finitiva , adica logica coerenta. Aceasta este o logica „aritmetica” si corespunde folosirii universurilor aritmetice ale lui Joyal ca substitut pentru topozele Grothendieck. Desi este formal mai putin puternica decat logica geometrica, este cel putin suficient de puternica pentru a acoperi numere reale si duce la o logica constructiva care nu depinde de alegerea unui topos elementar de baza “a seturilor”.

Teoria toposului Grothendieck ar putea fi caracterizata drept „topologie fara punct de vedere generalizata”, unde generalizarea se refera la spatii ale modelelor teoriilor geometrice nepropozitionale si, in consecinta, abordarea fara puncte trebuie sa treaca de la zabrele (de deschideri) la categorii (de fascicolelor). zenwriting.net Vedeti discutiile TACL 1-4.

Metodologia este aceea ca un spatiu este un topos Grothendieck (categoria de stejari), iar o harta continua este un morfism geometric. Cu toate acestea, o categorie de oie trebuie sa se bazeze pe o categorie data de seturi. Acesta poate fi orice topos elementar cu obiect de numere naturale, nu neaparat seturile clasice; dar faptul ca trebuie sa alegi este in sine o problema care face mai greu sa fie temeinic robust.

Visul UA este sa afirme si sa dovedeasca rezultatele topologice intr-un mod constructiv, temeinic robust, care nu depinde de alegerea unui topos de baza (sau a unei baze). www.pearltrees.com Vedeti discutiile TACL 5.

In prezent, suntem departe de a realiza acel vis in topologia algebrica, care prezinta mari provocari. Grothendieck a folosit topozele ca loc in care sa faca cohomologie, iar aceste tehnici nu vor functiona nemodificat cu UA.

Vedea -

  • Un principiu de inductie pentru consecinta in universurile aritmetice
  • Schite pentru universuri aritmetice.
  • Universuri aritmetice si topoze clasificate

De asemenea, pentru un raport bun despre ideile de baza cunoscute in 1996, a se vedea disertatia de Alan Morrison, „Rationamentul in universurile aritmetice”. www.gurufocus.com

Daca subiectele mele de cercetare prezentate aici sunt cele care v-ar interesa pentru studiul de doctorat, vi se recomanda sa ma contactati informal inainte de a depune cererea oficiala prin intermediul Oficiului de admitere.

  • Calificari: calificarile obisnuite asteptate pentru admiterea la un doctorat la Scoala de Informatica sunt 2,1 sau clasa I de onoare clasa I (sau echivalente). Cu toate acestea, pentru subiectele matematice pe care le-as supraveghea, ai avea nevoie intr-adevar de o diploma la nivel de masterat in matematica sau o materie conexa. Va trebui sa vad informatii despre cursurile pe care le-ati facut.
  • Zonele speciale: Exista doua arii matematice, si anume logica si teoria categoriilor, care probabil sunt importante in orice doctorat cu mine, dar, in acelasi timp, sunt adesea absente de la programele de matematica. gierrerixl.doodlekit.com La Birmingham veti invata acestea partial prin scoala absolvita Midlands de o saptamana in cadrul Fundatiilor de Informatica, pe care o montam in fiecare an in colaborare cu alte trei universitati. Intre timp, vreau sa stiu daca aveti vreo experienta particulara in ele.
  • Pentru cererea de doctorat, va trebui sa trimiteti un rezumat al cercetarii propuse – aria de baza, impreuna cu ideile posibile. Pot discuta ideile cu tine, astfel incat sa stim ca avem o potrivire plauzibila.
  • Perioada de timp: Studiul de doctorat poate incepe, in principiu, in orice moment al anului, dar finantarea universitatii pentru locuri incepe sa fie alocata in jurul lunii ianuarie si este plecata in cea mai mare parte pana in iulie. artcoachweb3.lucialpiazzale.com Prin urmare, daca trebuie sa va bazati pe finantarea de la Birmingham, atunci este mai bine sa aplicati in perioada decembrie – ianuarie pentru admiterea in octombrie.

Avand in vedere cele de mai sus, v-as ruga sa-mi trimiteti –

  1. Un rezumat al cursurilor predate, cu marci, unde este disponibil.
  2. Exemple de lucrari recente de teza sau lucrare de teza pana acum, sau schite de propuneri pentru aceasta, ceva care sa ma ajute sa vad nivelul la care lucrati in prezent.
  3. Orice idei particulare la care te-ai uitat s-ar putea dezvolta catre un doctorat.

La un moment dat, va trebui sa existe un interviu intre dvs. 275673.8b.io , mine si un alt membru al personalului. Daca nu puteti veni la Birmigham, un apel Skype este adesea cel mai convenabil.

Puteti gasi, de asemenea, detalii suplimentare despre programele de cercetare a scolii, inclusiv cateva informatii despre bursele de studii.